Étude théorique de méthodes numériques our les systèmes de réaction-diffusion : application à des équations paraboliques non linéaires et non locales

par Magali Ribot

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Michelle Schatzman.

Soutenue en 2003

à Lyon 1 .

mots clés

• Analyse numérique
• Équations de réaction-diffusion
• Développements asymptotiques
• Fermions

Résumé

On s'intéresse dans cette th`ese `a l'étude de méthodes numériques pour les syst`emes de réaction-diffusion. Tout d'abord, on étudie le schéma par régularisation du résidu et ses extrapolations ; ce schéma introduit un préconditionneur en espace lors de la discrétisation en temps. On prouve la stabilité en norme usuelle et la convergence en norme d'énergie de cette méthode et on l'applique au préconditionnement de méthodes spectrales par des méthodes d'éléments finis. Cette application nécessite le calcul d'asymptotiques précises des polyn˜omes de Legendre et de leurs extrema. On prouve aussi la convergence et l'ordre deux d'une méthode de splitting semi-discrétisée en temps pour les syst`emes de réaction-diffusion, l'approximation de Peaceman-Rachford. Enfin, on applique ces méthodes `a la simulation d'une équation parabolique non linéaire pour modéliser la croissance de grains et `a une équation parabolique non locale venant de la mécanique statistique et modélisant les syst`emes autogravitants de fermions.

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