Applications trilinéaires alternées et courbes cubiques elliptiques généralisées. Classification et utilisations cryptographiques
Auteur / Autrice : | Munzer Abou Hashish |
Direction : | Lucien Beneteau |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques appliquées |
Date : | Soutenance en 2003 |
Etablissement(s) : | Toulouse, INSA |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Résumé
Notre travail concerne les classifications : (1) des Applications Trilinéaires Alternées de V^3 dans W, où V et W sont des K-espaces vectoriels, et (2) des Courbes Cubiques Elliptiques Généralisées. Nous évoquerons aussi l'utilisation des Courbes Elliptiques projectives pour la construction de certains cryptosystèmes. Pour les ATA définies sur V, de base B soit AT(n,m,K) l'ensemble de celles dont l'image est de rang m. Nous poursuivons les travaux de Cohen, Helminck et Revoy sur les formes (cas m=1 ) en abordant le cas m=2. Nous montrons comment choisir B de sorte que les triplets t(ei,ej,ek) d'image nulle soient aussi nombreux que possible. Nous établissons que AT(5,2,K) comporte au plus 5 classes quand tout scalaire de K est un carré. Il y a exactement 6 classes dans AT(5,2,F_3), et au moins 13 dans AT(6,2,F_{3}), car nous avons trouvé13 représentants ayant des invariants distincts, le calcul étant réalisé par un programme implémenté en Fortran 90. Concernant les CCEG, les travaux de Keedwell et de Buekenhout permettaient la classification de celles d'ordre n<9. Les CCEG entropiques sont celles qui proviennent d'un groupe abélien, les Courbes Elliptiques projectives en font classiquement partie. Avec un théorème de Schwenk nous prouvons qu'il y a exactement 4 CCEG entropiques d'ordre 9, toutes associées à des Courbes Elliptiques projectives. Parmi les CCEG non entropiques, nous étudions surtout les térentropiques (où l'analogue du groupe associé est une boucle de Moufang commutative). Leur ordre n est multiple de 81. Nous écrivons explicitement les CCEG térentropiques d'ordre 81: elles forment 15 classes d'isomorphie, dont 12 formées de CCEG entropiques. Les 3 autres classes sont constituées de CCEG où la boucle associée (E,*) est de classe 2 au sens que l'associateur a vérifie une ''pseudo-linéarité a (x*x',y,z)= a(x,y,z)* a (x',y,z); l'une d'elles est une CCEG de Hall, c. à. D une CCEG où tout point est d'inflexion. En factorisant a on établit une correspondance biunivoque entre d'une part, les classes des éléments de AT(n,m,F_{3}), et d'autre part les classes d'isomorphie des CCEG de Hall de rang n+1, de 3-ordre (n+m)et de classe 2. Or on montre que AT(7,1,GF(3^s)) admet 11classes. Nous déduisons une classification complète et des descriptions explicites des 11CCGH dont les rangs et les 3-ordres sont 8. L'une d'elles a pour groupe d'automorphismes une extension d'un groupe de Chevalley G_2(F_3)