Quelques résultats mathématiques portant sur les semi-groupes fortement continus et sur certaines classes d'équations de transport

Some mathematical results on strongly continuous semigroups and on certain classes of transport equations

• Auteur / Autrice : Mohamed-Aziz Taoudi
• Direction : Kalid Latrach
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2003
• Etablissement(s) : Corte

Mots clés

Mots clés contrôlés

Point fixe, Théorème du

Transport, Théorie du

Semigroupes

Résumé

Ce travail est une contribution à la théorie des semi-groupes et à l'étude qualitative de certaines équations aux dérivées partielles intervenant dans la modélisation de phénomènes physiques et biologiques. Il comporte deux parties. La première est consacrée à l'étude de divers aspects mathématiques des semi-groupes fortement continus. Elle traite d'une part certaines propriétés spectrales des semi-groupes motivées par l'étude du comportement asymptotique des solutions des problèmes de Cauchy associés aux générateurs de ces derniers. D'autre part, des questions liées aux semi-groupes polynominalement de Riesz ainsi que leur décomposition spectrale sont abordées. Dans la deuxième partie, nous effectuons une analyse qualitative de quelques problèmes d'évolution pour deux modèles. Nous étudions, en premier lieu, le spectre d'une classe d'opérateurs intervenant en neutronique (transport des neutrons dans un réacteur nucléaire), notamment, le transport multi-groupe des neutrons (plusieurs groupes de vitesses). Cette étude consiste à donner des conditions suffisantes portant sur le noyau de scattering, pour pouvoir localiser le spectre de l'opérateur en question. Ainsi, nous généralisons les résultats de Pimbley à une classe plus large d'équations de transport. Nous donnons également des résultats dans l'esprit de ceux obtenus par M. Mokhtar-Kharroubi et K. Latrach concernant le spectre ponctuel réel de l'opérateur de transport multi-groupe. Enfin, nous considérons une équation intégro-différentielle non linéaire proposée à l'origine par J. L. Lebowitz et S. I. Rubinow, pour modéliser une population cellulaire par un formalisme âge et longueur de cycle. Dans ce modèle, nous supposons que la longueur de cycle d'une cellule est héréditaire et qu'à la mitose les cellules filles sont liées aux cellules mères par une loi de reproduction non linéaire. Nous montrons l'existence de solutions bornées et positives dans L1, lorsque la non-linéarité satisfait juste des conditions de type Carathéodory. Les résultats obtenus fournissent des réponses positives à quelques questions ouvertes sur le sujet.