Quasi-motifs et fonctions zêta des courbes sur les corps finis

par Rémy Eupherte

Thèse de doctorat en Mathématiques et informatique. Mathématiques pures

Sous la direction de Boas Erez.

Soutenue en 2003

à Bordeaux 1 .


  • Résumé

    L'objectif du présent travail est d'interpréter la fonction zêta d'une courbe C définie sur un corps fini en termes des quasi-motifs de la courbe obtenue après extension des scalaires à la clôture algébrique du corps de base, et notamment du quasi-motif d'homologie de Borel-Moore G. Le quasi-motif d'homologie de Borel-Moore d'une courbe définie sur un corps algébriquement clos est un complexe très simple de longueur 2. Dans ce travail, un foncteur réalisation l-adique Tl correctement défini et une analyse fine de l'action du Frobenius sur Tl(G) conduisent à une expression compacte pour la fonction zêta de la courbe C, y compris dans le cas où C est singulière et non projective. Ce résultat et des résultats de dualité entre les réalisations l-adiques des divers quasi-motifs permettent de retrouver l'équation fonctionnelle vérifiée par la fonction zêta. Enfin, nous proposons une interprétation de la rationalité de la fonction zêta, au moyen d'une formule des traces adaptée à notre situation.

  • Titre traduit

    Quasi-motives and zeta functions of curves over finite fields


  • Résumé

    The aim of this work is to interpret the zeta function of a curve C defined over a finite field in terms of the quasi-motives of the curve obtained after extension of the scalars to the algebraic closure of the ground field, in particular the Borel-Moore homology quasi-motive G. The Borel-Moore homology quasi-motive of a curve defined over an algebraically closed field is a very simple complex of length 2. In this work, a functor Tl correctly defined giving l-adic realization and a precise analysis of the action of the Frobenius on Tl(G) lead to a compact expression for the zeta function of the curve C, even if C is singular and non projective. This result and results of duality between the l-adic realizations of the quasi-motives allow one to establish the functional equation satisfied by the zeta function. At last, we give an interpretation of the rationality of the zeta function, by means of a kind of trace formula.

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Informations

  • Détails : 64 p.
  • Notes : Reproduction de la thèse autorisée
  • Annexes : Bibliogr. p. 63-64

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  • Bibliothèque : Université de Bordeaux. Direction de la Documentation. Bibliothèque Sciences et Techniques.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : FTA 2752-bis

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