Asymptotique et analyse spectrale de l'oscillateur cubique

Asymptotic and spectral analysis of the cubic oscillator

• Auteur / Autrice : Duc Thai Trinh
• Direction : Frédéric Pham, Eric Delabaere, Huu Duc Nguyen
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Nice en cotutelle avec Dalat
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques (Nice)
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Nice-Sophia Antipolis. Faculté des sciences - Université de Nice-Sophia Antipolis. Faculté de médecine (1965-2019)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Développements asymptotiques

Équations différentielles

Résumé

Ce travail est consacré à l’étude des coefficients de Stokes de l’équation différentielle : _ Ф (X) + (X3 + AX + B) Ф (X) = 0, qui est le modèle universel de confluence pour les points de transition triples. Nous montrons la nature résurgente de ces coefficients, de façon à en préciser les propriétés asymptotiques. En appliquant ces résultats au thème de la PT-symétrie dans la mécanique quantique, nous obtenons des informations remarquables (quantitatives ainsi que qualitatives) sur les solutions du problème de Sturm-Liouville associé à l’équation mentionnée, solutions que l’on peut voir comme fonctions propres d’un hamiltonien non-hermitien de la forme Hα :=p2 = iq3 + iαq. A l’aide des outils d’asymptotique exacte et de la théorie des fonctions résurgentes, nous étudions les prolongements analytiques en α (pour α complexe) des valeurs propres En(α) de ce hamiltonien. Nous montrons que ces valeurs propres sont des branches de la même fonction analytique multiforme (réelle quand α supérieur ou égal à 0) dont la surface de Riemann admet un quasi-réseau de points de ramification de type racine carrée.

This work is devoted to studying the Stokes multiplier of the differential equation : _ Ф (X) + (X3 + AX + B) Ф (X) = 0, which is the universal confluence model for triple turning points. We show the resurgent nature of these multipliers, in order to precise their asymptotic properties. Applying these results to PT-symmetry in quantum mechanics, we obtain remarkable informations (both quantitative and qualitative) on the solutions of the Sturm-Liouville problem associated with the above equation : these solutions we can treat as eigenfunctions of a non-hermitian Hamiltonian Hα : = p2 + iq3 + iαq. Using the tools of exact asymptotic analysis and the theory of resurgent functions, we study the analytic continuations in α (for α complex) of the eigenvalues (En(α) of this Hamiltonian. We show that this eigenvalues are the branches of one multivalued analytic function (real when α > or = 0) whore Riemann surface admits a quasi-lattice of square root branch points.