Principe de Hasse pour les espaces homogènes

The Hasse principle for homogeneous spaces

• Auteur / Autrice : Mohamed Abdallahi Ould Beddi
• Direction : Jean-Claude Douai
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Lille 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Brauer, Groupe de

Résumé

Soient G un groupe algébrique linéaire connexe défini sur un corps de nombres k et H un k-sous-groupe semi-simple de G. Sansuc a établi une bijection canonique entre l'ensemble de Tate-Shafarevich de G. Et le dual du sous-groupe du groupe de Brauer algébrique de G formé des éléments localement nuls pour toute place de k. Dans ce travail, nous étendons l' application de Sansuc aux espaces homogènes sous G avec isotropie H en utilisant l'application de Brauer-Manin réinterprétée par Borovoi. Dans le cas où H est semi-simple simplement connexe, nous pouvons décrire complétement l'ensemble de Tate-Shafarevich de G/H à l'aide des fibres de cette application. Le nombre de ces fibres est fini. La relation de domination de l'ensemble de Tate-Shafarevich de G vers celui de G/H, déduite de celle de Springer, nous permet de montrer que chacune de ces fibres est finie. La fibre au-dessus de 0 de cette application ne contient que des classes d'espaces homogènes admettant un point rationel et c'est la seule fibre qui en contienne. De plus, H étant toujours supposé simplement connexe, nous montrons que la relation de domination admet une section qui se factorise par l'application de Brauer-Manin. On étendra ces résultats au cas où H est un tore quasi-trivial.