Dynamique symplectique et de contact sur les varietes a bord

• Auteur / Autrice : ABDEL-JAWED DJAZIRI
• Direction : Charles-Michel Marle
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Deux themes centraux sont a l'origine de cette these : les problemes d'integrabilite des systemes hamiltoniens generalises, et les problemes associes a l'existence d'un bord pour les varietes apparaissant dans diverses questions naturelles de mecanique ou d'hydrodynamique. Nous introduisons la theorie des systemes de bernoulli sur les varietes presymplectiques a bord qui generalisent les systemes hamiltoniens. On commence par definir un crochet de poisson relatif sur l'algebre des integrales premieres du systeme caracteristique (integrable) de la 2-forme presymplectique, ce crochet nous permet de definir l'integrabilite pour ces systemes. Nous etablissons deux theoremes d'integrabilite, l'un sur les varietes de contact generalisee a bord, et l'autre sur les varietes symplectiques a bord, nous appliquons ces theoremes a la classification topologique locale des ecoulements stationnaires, d'un fluide isentropique ou parfait sur une variete differentiable de dimension 3, et d'un fluide parfait sur une variete differentiable de dimension 4, qui sont des exemples concrets de systemes de bernoulli integrables sur une variete a bord. Nous etablissons, aussi, la classification topologique globale des systemes de bott-bernoulli sur une variete de dimension 3 qui s'applique, a la generalisation de la classification topologique de fomenko des surfaces d'energie a bord.