Problemes stochastiques associes a l'equation de langevin : persistance et processus de reaction-diffusion

• Auteur / Autrice : OLIVIER DELOUBRIERE
• Direction : HENDRIK JAN HILHORST
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 2001
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Cette these comprend deux parties independantes. Dans la premiere nous etudions la probabilite de persistance de differents processus aleatoires - probabilite qu'ils restent au-dessus d'un seuil fixe pendant un certain intervalle de temps - qui definit un nouvel exposant de la dynamique hors d'equilibre. Une theorie de perturbation au premier ordre a recemment ete elaboree pour calculer les exposants de persistance des processus gaussiens non markoviens. Nous elaborons ici la theorie au second ordre et l'appliquons au calcul de l'exposant de persistance de l'equation de la diffusion. Nous etudions ensuite une large classe de processus markoviens et non gaussiens. Les proprietes de persistance de la classe entiere, lorsque le seuil est fixe a la valeur moyenne du processus, sont universelles. Enfin dans la limite de grand seuil une methode originale nous permet d'etablir le comportement asymptotique de l'exposant de persistance en fonction du seuil et nous le comparons aux resultats donnes par des simulations. Dans la seconde partie nous abordons l'etude des equations de langevin avec bruit imaginaire qui definissent la dynamique sous-jacente de la theorie des champs associee aux processus de reaction-diffusion. Nous montrons, par exemple, comment la conservation de la parite du nombre de particules dans certains processus, se traduit dans ce formalisme. Ensuite nous etudions un modele extremement simplifie de la percolation dirigee ou la competition entre creation et annihilation de particules conduit a l'existence d'un etat stationnaire uniforme. Lorsque l'on varie l'un des parametres de controle - comme le taux de creation de particules - l'etat stationnaire exhibe une transition de phases continue ou le role des fluctuations peut etre analyse par le groupe de renormalisation. Nous montrons alors que la contrainte microscopique d'exclusion entre particules change les comportements critiques universels de ce modele en dimension un.