Etude des singularités topologiques dans les espaces fonctionnels entre les variétés et applications au calcul des variations

• Auteur / Autrice : Mohammad Reza Pakzad
• Direction : Trisfan Riviere
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Cachan, Ecole normale supérieure

Résumé

Le but de cette thèse est d'étudier quelques aspects importants de l'ensemble singulier topologique des applications dans un espace fonctionnel donne. Cet objet est l'obstruction qui caractérise la non-approximabilite d'une application dans un espace par les applications réguliers. Ces singularités topologiques et leurs caractéristiques sont a la base de divers résultats intéressants sur des applications harmoniques a valeurs dans les sphères ou sur la densité (forte ou faible) des applications réguliers dans les espaces fonctionnels. Dans la première partie nous étudions les problèmes concernant la régularité et la multiplicité des extensions harmoniques dans h 1 (, s 2) ou est un domaine borne de r n et : s 2 est une application régulière. Nous étudions la généralisation aux dimensions supérieures des résultats de h. Brezis, f. Bethuel, j. -m. Coron et e. Lieb sur la relaxation de l'énergie de dirichlet dans h 1 (, s 2), r 3, et démontrons un phénomène du gap pour n = 4 qui est inexistant pour n = 3. Aussi, généralisant la méthode de t. Rivière aux dimensions supérieures, nous prouvons que les valeurs au bord non constantes admettent toujours une infinité d'extensions faiblement harmoniques dans h 1 (, s 2). Dans la deuxième partie nous étudions les singularités topologiques des applications dans les espaces de sobolev a valeurs dans une variété. Nous démontrons la convergence dans la norme bémol entière (intégral flat norm) des singularités topologiques (définies comme des courants normaux) d'une suite fortement convergente dans w 1 , 3(b n, s 3). Aussi nous montrons comment les singularités topologiques d'une application dans w 1 , p(b n, n) peuvent être définies comme des chaînes bémols a coefficients dans p (n) quand n satisfait certaines conditions. Nous utilisons ensuite cette perspective pour démontrer la densité séquentiellement faible des applications réguliers dans ces espaces.