Analyse mathematique de quelques problemes d'elasticite non lineaire et de calcul des variations

• Auteur / Autrice : DANIEL COUTAND
• Direction : Philippe Gaston Ciarlet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Les travaux presentes dans cette these concernent d'une part l'analyse mathematique de problemes non lineaires en elasticite et d'autre part l'analyse de la multiplicite pour une classe generale de problemes du calcul des variations sous contraintes. Les quatre premiers chapitres concernent l'analyse mathematique d'un modele de membrane plane non lineaire dont la densite d'energie depend de la difference entre le tenseur metrique de la surface inconnue et celui de la surface de reference. On etablit des resultats d'existence et d'unicite locales de solutions injectives pour ces equations quasilineaires non elliptiques pour differentes conditions aux limites a la frontiere, a savoir la condition de deplacement nul, l'etirement et la legere compression. Les proprietes des solutions en terme de minimisation sont egalement etudiees. Le cinquieme chapitre etablit l'existence d'un minimiseur a la fonctionnelle d'un probleme de coque en flexion inextensionnelle non lineaire, ayant la particularite d'etre pose sur un ensemble non convexe de deformations, en l'occurrence celles dont le tenseur metrique est egal a celui de la surface de reference. La densite d'energie de la fonctionnelle a minimiser depend de la difference entre le tenseur de courbure de la surface inconnue et celui de la surface de reference. Le sixieme chapitre concerne l'etude de la multiplicite pour une classe generale de problemes du calcul des variations sous contraintes d'un certain type, incluant le probleme de coque precedent et celui d'un materiau ferromagnetique en micromagnetisme. On developpe une approche de natures geometrique, variationnelle et topologique qui permet d'analyser les structures topologiques des ensembles de forces admettant respectivement un ou plusieurs minimiseurs. En particulier, on etablit la densite de l'ensemble des forces admettant un unique minimiseur ainsi que le caractere non vide et non isole dans lui-meme de l'ensemble des forces admettant plusieurs minimiseurs.