Aspects ergodiques des automates cellulaires

par Pierre Tisseur

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de François Blanchard.

Soutenue en 1999

à Aix-Marseille 2 , en partenariat avec Université d'Aix-Marseille II. Faculté des sciences (autre partenaire) .

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  • Résumé

    Dans cette these nous etudions deux aspects ergodiques de la dynamique des automates cellulaires unidimentionnels et bilateres. Dans la premiere partie nous cherchons a affiner la notion d'exposant de lyapounov pour ces automates. Une premiere proposition de definition de ces exposants a ete realisee par m. Shereshevsky et parut dans j. Nonlinear sci. En 1992. Ces exposants (droits et gauches) sont definis relativement a une mesure ergodique pour l'automate cellulaire. Nous montrons qu'en prenant les memes definitions pour ces exposants mais en posant comme condition que la mesure soit invariante par l'automate et que cette mesure soit ergodique pour le shift il est possible de prouver l'existence de ces exposants et de montrer une inegalite entre d'une part l'entropie metrique de l'automate cellulaire et d'autre part le produit de l'entropie metrique du shift par la somme des exposants de lyapounov droit et gauche. Il est a remarquer que l'on dispose de beaucoup plus d'exemples de couples (automates cellulaires, mesures) pour lesquels la mesure est invariante par l'automate et ergodique pour le shift que de mesure ergodique pour l'automate cellulaire et invariante par le shift. Ensuite tout en conservant les memes conditions sur la mesure, nous introduisons des exposants de lyapounov (droits et gauches) denommes moyens car ils se definissent a partir de moyennes ergodiques et non pas comme des valeurs maximales sur l'orbite du shift des points. On montre que ces nouveaux exposants sont plus petits ou egaux aux premiers exposants que l'on peut qualifier de maximaux et que le produit de la somme de ces deux exposants par l'entropie metrique du shift est encore un majorant de l'entropie metrique de l'automate cellulaire. Une propriete remarquable des exposants moyens est de s'annuler lorsqu'il existe des points d'equicontinuite dans le support de la mesure. Les exposants de lyapounov maximaux ne partagent pas cette propriete comme nous le montrons dans deux exemples. Puis remarquant qu'il est toujours possible de definir les exposants de lyapounov maximaux pour la mesure uniforme nous montrons que le produit de ces exposants par l'entropie du shift est un majorant de l'entropie topologique de l'automate cellulaire. La seconde partie est une etude des liens existant entre la notion d'equicontinuite et l'existence de mesures invariantes par l'automate cellulaire. Le resultat principal est le suivant : si une mesure est ergodique pour le shift et qu'un automate cellulaire possede des points d'equicontinuite dans le support topologique de cette mesure alors la suite des mesures images par l'automate cellulaire de cette mesure est convergente. Nous donnons une expression asymptotique de cette mesure limite. Ensuite nous finissons par une etude du support topologique de la mesure limite.


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Informations

  • Détails : 1 vol. ( 58 f.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. : f. 56

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