Etude de schemas numeriques multiniveaux utilisant les inconnues incrementales, dans le cadre des differences finies : application a la mecanique des fluides

Study of multiscales numericals schemes in finite differences using incrementals unknowns, application to the fluid mecanics

• Auteur / Autrice : FRANCOIS POUIT
• Direction : Roger Temam
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Les inconnues incrementales ont ete introduites dans le but d'approcher les varietes inertielles dans le cas des differences finies. Ce concept a conduit a l'introduction de nouveaux schemas traitant differemment la composante de grande echelle y et celle de petite echelle z, donnant une amelioration du conditionnement pour les problemes elliptiques, et une meilleure condition de stabilite pour les problemes evolutifs. Dans la premiere partie de ce travail, nous presentons une methode, permettant d'etudier des schemas explicites en y et implicites en z et vice versa pour l'operateur de la chaleur en dimension un et deux. A cette fin, nous introduisons une base provenant des vecteurs propres du laplacien, dans laquelle l'etude de la matrice d'amplification est facile a realiser. Dans le cas de la dimension un avec deux grilles, nous pouvons determiner la condition necessaire et suffisante de stabilite, qui se trouve etre moins contraignante que celle du schema d'euler explicite, et donner une estimation precise de l'erreur, qui a condition que la constante de viscosite soit suffisament petite est de l'ordre du schema initial. Nous etendons ces resultats sur plusieurs grilles, et sur deux niveaux en dimension deux, par une etude numerique qui nous permet de trouver une condition necessaire de stabilite et d'effectuer des estimations d'erreur. Dans la seconde partie de ce travail, nous etudions dans le cadre de l'equation de burgers en dimension deux, la methode de galerkin non lineaire etudiee dans le cadre de elements finis sur des schemas d'ordre un en temps, qui consiste a figer la composante z pendant des laps de temps estimes tout au long de la simulation. Par un controle de l'erreur approprie, et l'introduction d'un schema en temps en z, nous retrouvons la precision de la grille fine, tout en gelant la composante z durant soixante pour cent du temps ecoule. Enfin nous etudions la possibilite d'etendre ce type de methode a des schemas d'ordre deux en temps.