Complexite descriptive et l'approximation de fonctions de denombrement

Descriptive complexity and approximation of counting functions

• Auteur / Autrice : Abraham Sharell
• Direction : Michel de Rougemont
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Nous etudions les problemes de denombrement du point de vue de la complexite descriptive et leur relation etroite avec l'echantillonnage. Valiant a introduit en 1977 la classe de complexite p : une fonction f est dans p s'il existe une relation binaire r calculable en temps polynomial, ou pour tout x le nombre de y tel que r(x,y) est exactement f(x). Saluja et al. Ont propose en 1992 une caracterisation des fonctions p par des formules logiques du premier ordre. La complexite descriptive d'une fonction f est donne par la complexite d'une formule qui definit f. Nous poursuivons cette approche et introduisons une nouvelle reduction. La cloture des classes syntaxiques par notre reduction conduit, comme chez saluja et al. , a une hierarchie avec trois niveaux, caracterisee par des formules sans quantificateurs, avec quantificateurs existentiels ou universels uniquement. Pour chaque niveau de cette hierarchie nous obtenons des fonctions completes. Pour le niveau universel, nous montrons que toute sous-classe qui peut etre definie par des restrictions syntaxiques est soit facile a calculer, soit d'une complexite inconnue soit non-approximable. Pour la sous-classe syntaxique dont la complexite n'est pas resolue, le probleme de denombrer les ideaux d'un ensemble partiellement ordonne est complet. Ce probleme s'est avere central dans la combinatoire et la mecanique statistique a cause de son lien etroit avec l'echantillonnage a partir d'un treillis distributif. Nous expliquons ces connexions ainsi que certains progres methodologiques pour simplifier l'utilisation des chaines de markov pour echantillonner a partir d'un tel treillis. Nous demontrons que le temps de melange d'une telle chaine peut etre borne par la solution d'un systeme lineaire derive a partir de la chaine.