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Thèse soutenue

Probleme de riemann-hilbert pour une representation de monodromie triangulaire superieure

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Auteur / Autrice : JULIETTE VANDAMME
Direction : Andrey Andreevich Bolibroukh
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Sciences et techniques communes
Date : Soutenance en 1998
Etablissement(s) : Nice

Résumé

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On etudie le probleme de riemann-hilbert (prh) pour une representation de monodromie triangulaire superieure de dimension 5 et 6. Le prh peut etre formule comme suit : existe-t-il un systeme fuchsien ayant des points singuliers et une representation de monodromie donnes ?. Dans le cas d'une representation de monodromie triangulaire superieure il est connu que la reponse au prh est positive en dimension 2, 3, 4 et qu'elle est negative en dimension 7. On montre que la reponse au prh depend des structures de jordan des matrices de monodromie et de leurs valeurs propres ; de plus on peut remplacer ces matrices par des matrices diagonales de memes valeurs propres. D'autre part le prh peut etre reduit au probleme d'existence d'une solution entiere d'un systeme d'equations lineaires algebriques associe a la representation. En dimension 5 on montre que le probleme general peut etre reduit au cas ou la representation a au plus 8 points singuliers. Les systemes algebriques associes aux representations sont etudies cas par cas et admettent toujours une solution entiere. On en deduit que le prh en dimension 5, pour une representation triangulaire superieure, admet une solution. En dimension 6 on utilise le logiciel mathematica pour montrer que si le systeme algebrique associe a la representation est de rang 1, 2, 3, 4 ou 6 alors le prh admet une solution. Mais il existe une representation de monodromie triangulaire superieure de dimension 6 qui ne peut etre realisee par aucun systeme fuchsien (le systeme algebrique associe est de rang 5). Finalement la plus petite dimension pour avoir une reponse negative au prh pour une representation triangulaire superieure est 6.