Complexité algébrique : stabilité polynomiale des corps différentiels & résolutions universelles pour des problèmes NP-complets

par Natacha Portier

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques

Sous la direction de Bruno Poizat.

Soutenue en 1998

à Lyon 1 .

Le jury était composé de Bruno Poizat.


  • Résumé

    La première partie est consacrée a l'étude de la complexité algébrique des corps différentiels de caractéristique nulle. Nous pouvons définir les classes P et NP sur un corps différentiel K (cf le livre "les petits cailloux" de B. Poizat). En utilisant le théorème des témoins de L. Blum, F. Cucker, M. Shub et S. Smale, nous montrons la P-stabilité de la théorie des corps différentiels de caractéristique nulle : la restriction d'un problème P sur un corps différentiel K à un sous corps K de K est encore P. Nous en déduisons que la question P = NP? A la même réponse dans tous les corps différentiellement clos de caractéristique nulle. Nous montrons ensuite que la dérivée ne nous permet pas de calculer plus vite les grandes racines et les grandes puissances d'un élément. La deuxième partie est consacrée à l'étude d'une généralisation d'une notion définie par M. Agrawal et S. Biswas : les résolutions universelles. Les auteurs définissent pour le cas des calculs sur les booléens, une notion plus forte que la NP-complétude. Par définition, à chaque problème NP-complet x est associé un probleme y, que nous appelons résolution associée à x, qui est P, et tel que x soit dans x si et seulement s'il existe y, de longueur polynomiale en elle de x, tel que (x, y) soit dans y. Un tel y est appelé solution de x pour x. Si toute résolution R se réduit a y, de manière à ce que les solutions pour R se déduisent des solutions pour y, y sera appelée résolution universelle. Les auteurs montrent ensuite un théorème qui permet de prouver qu'une résolution est universelle. Nous généralisons cette définition et ce théorème aux calculs effectués dans une structure arbitraire, en particulier aux calculs sur les réels définis dans l'article "on a theory of computation and complexity over the real numbers : NP-completeness, recursive functions and universal machines" de L. Blum, M. Shub et S. Smale, puis nous étudions des exemples.


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Informations

  • Détails : 1 vol. (viii-72 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 67-70

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