Formes canoniques invariantes d'un système linéaire différentiel homogène, polygone de Newton, calcul de la partie exponentielle des solutions formelles

Invariant canonical forms of a linear homogeneous differential system, newton polygon, computing exponential part of the formal solutions

• Auteur / Autrice : Alain Wazner
• Direction : Jean Della Dora
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Université Joseph Fourier (Grenoble ; 1971-2015)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut d'informatique et mathématiques appliquées (Grenoble ; 1989-2006)

Mots clés

Mots clés libres

Système différentiel

Système linéaire

Résolution système équation

Invariant

Méthode Newton

Résumé

Dans cette thèse nous cherchons à calculer la partie exponentielle des solutions formelles de systèmes différentiels linéaires homogènes. Au premier chapitre nous revenons sur les cas des équations différentielles à travers la méthode de cassure des pentes du polygone de Newton d'un opérateur différentiel et donnons des résultats de convergence des solutions formelles. Au deuxième chapitre nous donnons une définition du polygone de Newton d'un système différentiel linéaire homogène et en établissons l'invariance à l'aide d'une forme canonique de la matrice du système différentiel qui a pour propriété l'égalité entre le polygone de Newton du système qu'elle représente et le polygone de Newton de son polynôme caractéristique (ce n'est pas la seule forme canonique répondant à cette propriété) : la forme polygonale compatible. Au troisième chapitre nous revenons sur les formes super-irréductibles qui minimisent une fonction des valuations des colonnes de la matrice d'un système différentiel et donnons un algorithme de calcul d'une forme super-irréductible. Au quatrième chapitre nous définissons les liens entre formes polygonales compatibles et super-irréductibles, définissons à partir des formes super-irréductibles d'un système différentiel deux polygones qui encadrent le polygone de Newton et établissons qu'une ramification assez grande réalise l'égalité entre le polygone de Newton et l'un de ces polygones : ce qui ouvre la voie à des algorithmes de calcul de formes polygonales compatibles. Au cinquième chapitre nous établissons l'invariance de la partie exponentielle des solutions formelles d'un système différentiel linéaire homogène et donnons un premier algorithme de calcul de celle-ci qui transpose l'algorithme de cassure des pentes du polygone de Newton, puis un deuxième algorithme plus effectif basé sur des ramifications et des réductions partielles de la matrice du système différentiel considéré