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Thèse soutenue

Méthode de décomposition pour résoudre des problèmes combinatoires sur les graphes

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Auteur / Autrice : Jean-François Manouvrier
Direction : Corinne Lucet-Vasseur
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Contrôles des Systèmes
Date : Soutenance en 1998
Etablissement(s) : Compiègne

Résumé

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Les travaux de cette thèse utilisent une méthode de décomposition pour résoudre des problèmes combinatoires NP-difficiles énoncés sous la forme de problèmes de graphes. Parmi les méthodes exactes existantes, les méthodes utilisant une décomposition-arbre du graphe permettent de résoudre certains problèmes NP-difficiles en temps polynomial pour un graphe de largeur-arbre inferieur à K. K est une constante fixée en fonction du problème et des capacités de la machine utilisée. Nous nommons ces méthodes de programmation dynamique : méthodes de décomposition. Dans cette thèse, nous utilisons une décomposition-chemin du graphe, basée sur une numérotation linéaire des sommets du graphe, pour résoudre certains problèmes NP-difficiles. Les problèmes que nous avons ainsi traites sont les problèmes de la fiabilité des réseaux (fiabilité tous-terminaux et fiabilité 2-arête-connexe tous-terminaux), le problème du voyageur de commerce et le problème de l'arbre de Steiner minimal. Pour chacun de ces problèmes, nous étudions les autres méthodes existantes, nous démontrons que la méthode de décomposition peut être appliquée, en modélisant des classes d'équivalences regroupant des solutions partielles, et nous analysons l'implémentation de ces méthodes. Une des difficultés essentielles de l'implémentation des programmes de décomposition consiste à gérer efficacement en mémoire les classes. Pour la fiabilité 2-arête-connexe tous-terminaux, la structure des classes nous a contraints à introduire un concept de forêts fictives et à développer un algorithme énumérant ces forêts. Nous obtenons ainsi des algorithmes de décomposition résolvant ces problèmes, dont les complexités en temps sont linéaires en fonction de la taille du graphe pour des graphes de largeur-chemin bornée.