Systemes integrables et courbes algebriques

• Auteur / Autrice : Olivier Vivolo
• Direction : LUBOMIR GAVRILOV
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Résumé

Cette these est divisee en trois parties : dans la premiere partie, nous appliquons le theoreme de ziglin a une perturbation quartique du potentiel d'henon-heiles suivante $$h(x,y,px,py)=frac12(px2 + py2) + fraca2x2 + fracb2y2 + x2y + fracd3y3 + fracalpha4x4 + fracbeta2x2y2 + fracgamma4y4$$. Cela nous permet d'obtenir des conditions suffisantes de non-integrabilites analytiques sur les coefficients $$a, b, d, alpha, beta, gamma$$. On utilise la methode de lindstedt-poincare pour calculer les obstructions a l'integrabilite de $$h$$, donnees par la theorie de ziglin. Dans la seconde partie nous considerons le cas ou la courbe spectrale est lisse dans sa partie affine et a l'infini est localement un croisement normal de $$s$$ branches. Soit la variete isospectrale $$mpj + = a(x) : det(a(x) - yid) = p(x,y) = 0 et a(x) = jxd + ad-1xd-1 + ad-2xd-2 +. . . + ao$$ ou $$p$$ est un polynome, $$j = diag(ao, ao,. . . , ao, a1,. . . , ar-s)$$ avec $$ao,. . . , ar-s$$ sont deux a deux distincts et $$ad1$$ contient un bloc d'ordre $$s$$ egal a $$diag(alpha1, alpha2,. . . , $$$$alphas)$$, ces coefficients $$alphai$$ sont fixes, differents deux a deux et dependent seulement de la courbe spectrale. Nous montrons que $$mpj+$$ est lisse et bi-holomorphe a un ouvert d'une jacobienne generalisee. Dans la derniere partie, nous donnons une demonstration simple geometrique et nouvelle du calcul de la monodromie reelle des variables actions des systemes suivants : pendule spherique, toupie de lagrange, cas de kirchhoff d'un solide rigide dans un fluide infini ideal. Avec la meme demarche, nous prouvons l'existence de la monodromie pour le pendule spherique avec un potentiel quadratique quelconque. Concernant la condition k. A. M. , e. Horozov a montre que pour le pendule spherique, la hessienne ne s'annule pas pour tous les points hors du diagramme de bifurcation. Nous donnons une nouvelle demonstration de ce fait-la.