Invariants de vassiliev dans les varietes de dimension 3

Vassiliev's invariants in 3 dimensional manifolds

• Auteur / Autrice : HERVE MENEVIS
• Direction : Pierre Vogel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

La premiere partie de cette these consiste a utiliser la theorie de vassiliev pour determiner la structure des skein modules homfly et kauffman de certaines varietes de dimension 3. Essentiellement, nous montrons qu'une famille d'entrelacs elementaires de ces skein modules est libre en construisant des formes lineaires les separant. Pour cela, nous travaillons sur un anneau de series formelles, et les formes lineaires sont construites degre par degre : si l'on note h la forme lineaire que l'on cherche a construire, nous montrons comment la connaissance du terme de degre n de h(e) pour tout entrelacs e entraine la connaissance du terme de degre n+1 de h(e') pour tout entrelacs singulier e' ayant exactement un point double. En utilisant ensuite un theoreme de lin et une generalisation due a l'auteur, nous montrons que cet invariant defini sur les entrelacs singuliers a un point double peut etre integre en un veritable invariant, qui fournit le terme de degre n+1 de la forme lineaire h. Dans certains cas, nous arrivons a montrer que cette famille libre est egalement generatrice du skein module. La deuxieme partie etudie ce qui subsiste de la theorie des diagrammes de cordes dans le cas des 3-varietes dont le premier groupe d'homotopie est abelien. Pour tenir compte du plongement d'un nud singulier dans la variete, on est amene a munir les diagrammes d'une classe de cohomologie. Cette classe empeche l'ensemble de diagrammes de cordes d'etre une algebre de hopf comme dans le cas classique : on n'a plus qu'une structure de cogebre. Nous etudions comment tenir compte de cette classe pour construire des fonctions de poids au moyen d'algebres de lie, et determinons toutes les fonctions de poids ainsi obtenues avec sl2 munie de la representation standard.