Contributions théoriques et algorithmiques à l'étude des équations différencielles-algébriques : Approche par le calcul formel

par Gabriel Thomas

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Jean Della Dora.

Soutenue en 1997

à Grenoble INPG .


  • Résumé

    Cette thèse de Calcul Formel présente une étude des Equations Différentielles-Algébriques (ou avec contraintes), de type polynomiales et quasilinéaires. Il faut en général dériver ces équations pour pouvoir décider de l'existence de solutions. Ce nombre de dérivations est appelé indice par les numériciens. La première partie précise la définition de l'indice, par une approche algébrique du problème, qui est ensuite comparée aux travaux récents en algèbre différentielle, théorie créée par J. F. Ritt vers 1940. Nous montrons que l'indice ne dépend que des composantes irréductibles de la variété des contraintes. L'utilisation d'idéaux premiers rend ces résultats peu effectifs. En deuxième partie nous remédions à ce problème en utilisant un algorithme dû à D. Lazard, qui décompose les EDA en systèmes triangulaires. Les variétés sont représentées par des idéaux radicaux équidimensionnels. L'algorithme est implémenté dans les systèmes Maple V et GB, pour les calculs de bases de Gröbner. Il s'agit du premier algorithme entièrement formel calculant indice et ensemble des contraintes d'une EDA. La dernière partie étudie localement les points-impasse des EDO implicites, singularités génériques des EDA quasi-linéaires. En nous plaçant dans l'espace complexe, nous montrons simplement que ces points ne sont autres que des points de branchement algébriques des solutions. L'exposant des séries de Puiseux solutions en ces points est obtenu en considérant leur multiplicité dans le déterminant du système, ce qui généralise un résultat de Briot et Bouquet

  • Titre traduit

    Symbolic approach for the study of Differential-Algebraic Equations. Theory and Computation of the differential Index


  • Résumé

    In this Computer Algebra thesis we develop the thoery of quasi-linear Differential-Algebraic Equations (DAEs) with polynomial coefficients. The existence of solutions to these systems is answered after differentiating the equations ; the minimal number of differentiations to get an integrable form is called the differential index by numerical analysts. In the first part, we make precise the definition of the differential index. By use of algebraic geometry and commutative algebra (modules over quotient rings) we show that the index depends on the irreducible components of the constraints variety of the original DAEs. The second part is devoted to algorithmic issues : we give an original and effective method of decomposing a quasi-linear polynomial DAEs into ODEs on equidimensional algebraic sets. For each subsystem, the index is computed, while both algebraic and differential parts are obtained without using the factorization of polynomials. This algorithm has been implemented with Maple and GB software. The other part of the thesis deals with the local study of so-called impasse points of non linear Differential Equations. These points are the standard singularities of quasi-linear DAEs. Taking a complex viewpoint, we show by simple calculations that impasse points are actually algebraic branch points of the soluions. Getting the multiplicity of these branch points from the determinant of the differential part, we show how to express the solution as a Puiseux expansion near a given impasse point.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (152 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 7-10 (59 ref)

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  • Cote : IMAG-1997-THO
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