Etude algorithmique des courbes algebriques reelles planes. Complexite

Algorithmic study of real plane algebraic curves. Complexity

• Auteur / Autrice : M'hammed EL Kahoui
• Direction : Henri Lombardi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences appliquées
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Besançon

Résumé

Cette these s'inscrit dans le cadre de l'etude algorithmique de la topologie des courbes algebriques planes. Dans le premier chapitre nous etudions en details les ideaux des anneaux de polynomes en deux variables a coefficients dans un corps commutatif en nous basant sur le theoreme de structure de lazard. Nous donnons des theoremes de specialisation, de localisation et de henselisation pour ces ideaux. Nous introduisons la notion de courbe en position generique, nous donnons les proprietes essentielles des courbes dans une telle position et une methode de mise en position generique. Nous obtenons aussi une caracterisation des courbes non singulieres en position generique et de quelques types de singularites. Un point cle dans les techniques que nous developpons est le fait que les points critiques d'une courbe en position generique sont decrits de maniere rationnelle en fonction de leur premiere coordonnee. Le second chapitre est consacre a l'etude du type topologique d'une courbe plane. Nous montrons que la mise en position generique prealable d'une courbe plane facilite le calcul de son type topologique. Nous decrivons un algorithme, appele top, qui calcule le type topologique en question. L'algorithme top possede la meilleure borne de complexite theorique des algorithmes actuels. Dans le troisieme chapitre nous nous interessons au calcul des parametrisations analytiques locales d'une courbe au voisinage d'un point singulier. La aussi nous profitons d'une mise en position generique prealable pour faciliter les calculs. Nous decrivons un algorithme, appele erp, qui permet de calculer les parties singulieres des series rationnelles de puiseux aux singularites d'une courbe. Cet algorithme a l'avantage de ne jamais faire usage de factorisation de polynomes dans des extensions finies du corps des rationnels.