Espaces metriques rationnellement presentes, complexite des fonctions reelles uniformement continues

Rationally presented metric spaces, complexity of uniformly continuous real functions

• Auteur / Autrice : El Madkour Moutai
• Direction : Henri Lombardi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences appliquées
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Besançon

Résumé

Les problemes de calculabilite ou de constructivite font, ces derniers temps, l'objet de plusieurs travaux. Plusieurs auteurs sont interesses par les mathematiques constructives ; dans ce cadre nous pouvons citer la constructivite dans le style de bishop, mais aussi l'ecole russe de markov. Dans cette these, nous nous basons sur le premier point de vue ainsi que sur l'approche de ko et friedmann dans le cadre des mathematiques classiques. Ainsi, apres des rappels fixant les notations et les objets de reference constructifs et utilises par la suite, nous definissons la notion de presentation rationnelle d'un espace metrique complet comme moyen d'etude des espaces metriques et des fonctions continues du point de vue de la complexite algorithmique. Usuellement un espace metrique contient des objets de nature infinie, ce qui exclut une presentation informatique directe de ces objets. Pour contourner cette difficulte, on procede comme il est usuel pour l'espace des nombres reels. On considere une partie dense y de l'espace considere x, qui soit suffisamment simple pour que : - ses elements puissent etre codes comme des mots sur un alphabet fini fixe - la fonction distance restreinte a y soit calculable on dira que le codage propose pour y et la description proposee pour la fonction distance constituent une presentation rationnelle de l'espace metrique x. Nous etudions dans ce cadre differentes manieres de presenter l'espace des fonctions reelles uniformement continues sur l'intervalle 0, 1, muni de la norme usuelle. Ceci nous permet de faire une comparaison de nature globale entre les notions de complexite attachees a ces presentations. En particulier, nous obtenons une generalisation des resultats de hoover concernant le theoreme d'approximation de weierstrass en temps polynomial. Nous obtenons egalement une generalisation des resultats de ker-i ko, h. Friedman et n. Th. Muller concernant les fonctions analytiques calculables en temps polynomial.