Études sur les équations de Boussineq

Studies on Boussinesq equations

• Auteur / Autrice : Dé Godefroy Akmel
• Direction : Jean-Claude Saut
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes. Mathématiques
• Date : Soutenance en 1996
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles -- Théorie asymptotique

Sobolev, Espaces de

Mots clés libres

Equations de Boussinesq

Résumé

Dans ce travail, nous présentons quelques propriétés de certaines équations de Boussinesq généralisées. Dans la première partie, nous étudions le comportement en grand temps de la solution (n,v) des équations n_t + n_x1 + 3/2_npnx1 - 1/6_βnx1x1t + 1/2_γvx2 - 1/2εv = 0, γv_t + εn + γn_x2 = 0, (x_1, x_2) ∈ R, avec p ≥ 1 entier, β,ε,γ > 0 réels. En particulier, nous montrons que pour p > 6, et pour de petites données initiales, la norme infinie de n decroît vers zéro comme t^(-1/3), alors que celle de v reste bornée. La preuve est basée sur l'analyse du problème linéaire associé aux équations ci-dessus. L'absence de terme régularisant en x_2 dans ces équations nous empêche de faire l'étude de l'existence locale via les méthodes classiques d'estimations d'énergie. C'est pour contourner cette difficulté que nous travaillons avec des transformées de Fourier et des intégrales oscillantes. De même, à cause la forme particulière de ces équations, l'étude du comportement asymptotique a été faite dans les espaces de Sobolev à poids. Dans la seconde partie de cette thèse, nous étudions l'explosion en temps fini des solutions d'équations de Boussinesq. Après avoir traité le problème d'existence locale, nous montrons que sous certaines conditions, ces solutions explosent en temps fini.