Hierarchies de definissabilite logique au second ordre

Hierarchies for second-order logical definability

• Auteur / Autrice : ARNAUD DURAND
• Direction : Étienne Grandjean
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences appliquées
• Date : Soutenance en 1996
• Etablissement(s) : Caen

Résumé

La definissabilite logique sur les structures finies s'est beaucoup developpee ces dernieres annees principalement en raisons des nombreuses connexions qui existent entre ce domaine et la theorie de la complexite algorithmique. Dans cette optique, cette these s'interesse a l'etude du pouvoir d'expression de fragments particulierement significatifs de la logique existentielle du second ordre. On montre tout d'abord que, dans cette logique, toute formule dont la quantification au second ordre porte sur un nombre quelconque de fonctions unaires est logiquement equivalente, sur les structures finies, a une formule ou une seule relation binaire est quantifiee. On raffine ensuite ce resultat de plusieurs manieres. Celui-ci reste vrai si la relation binaire est restreinte a une relation symetrique, un ordre partiel ou meme une relation bipartie. De plus, on montre que l'on peut conserver le nombre de quantificateurs universels dans le prefixe du premier ordre. Ce dernier resultat nous permet de donner une nouvelle caracterisation logique de nlin (temps lineaire non deterministe). En utilisant un theoreme d'ajtai, on donne ensuite un resultat de separation en montrant que la parite du nombre d'aretes d'un graphe n'est pas definissable avec des fonctions unaires au second ordre mais qu'elle l'est avec une seule relation binaire. Enfin, on presente un nouveau theoreme de hierarchie sur les spectres prenant en compte a la fois l'arite des predicats et le nombre de quantificateurs universels