Oscillateur harmonique perturbé : enroulement géodésique dans les pointes des surfaces de Riemann

Random perturbation of the harmonic oscillator. Winding of geodesics around the cusps of riemann surfaces

• Auteur / Autrice : Nathanaël Enriquez
• Direction : Yves Le Jan
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes. Physique
• Date : Soutenance en 1995
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Cette these est composee de trois parties. La premiere se distingue des deux autres, elle est consacree a l'etude de l'effet d'une petite perturbation aleatoire isotrope sur un oscillateur harmonique de dimension quelconque. Pour cela on calcule l'exposant de lyapounov de l'energie du systeme que l'on exprime a l'aide de fonctions hypergeometriques de quatre variables. On utilise une methode perturbative classique dans ce genre de probleme, qui aboutit a des equations necessitant un traitement original. Les deux parties suivantes sont consacrees a l'etude de l'enroulement des geodesiques et de processus de diffusions autour des pointes des surfaces de riemann de courbure negative constante. Dans la deuxieme partie on suppose que le volume de la surface est fini et on montre que la statistique de l'enroulement geodesique moyen jusqu'a l'instant t converge en loi vers une loi de cauchy lorsque t tend vers l'infini (en ayant pris la mesure de liouville comme mesure de probabilite sur le fibre unitaire tangent). Pour cela on montre que les geodesiques suivent une loi d'enroulement analogue a celle du mouvement brownien que l'on etudie par la theorie des excursions. La troisieme partie est consacree au cas des surfaces de volume infini, on montre que l'enroulement d'un certain processus de diffusion autour d'une pointe de volume fini, converge lorsqu'il est correctement normalise vers une loi stable dont le parametre depend de la dimension de hausdorff de l'ensemble limite