Optique géométrique non linéaire, chocs forts, relaxation

par Stéphane Junca

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Michel Rascle.

Soutenue en 1995

à Nice .


  • Résumé

    Cette thèse comporte trois parties distinctes. Le lien mathématique des trois parties est l'étude du comportement asymptotique de solutions de systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperboliques non linéaires. La première partie, suivant les travaux de Joly, Metivier, Rauch, décrit rigoureusement le comportement asymptotique pour les hautes fréquences des solutions de problèmes aux limites, hyperboliques, semi-linéaires, monodimensionnels, avec bord non caractéristique, et avec données initiales aux limites oscillantes. Ici, les données sont continues mais nous n'imposons pas d'hypothèses de comptabilité au coin. Ainsi des singularités se propagent suivant les caractéristiques issues du coin et partagent le domaine en plusieurs zones. Nous démontrons que chaque zone possède ses oscillations, ses phases, ses profils et son comportement asymptotique. La deuxième partie réunit différents outils pour l'étude de l'optique géométrique faiblement non linéaire, de chocs forts et de l'interaction des deux sujets. Ce sujet utilise le schéma de Glimm, des résultats de stabilité, de trace et de moyennisation. Nous démontrons la stabilité du problème de Riemann du système de Nishida dans le cas de deux chocs, pour de grandes perturbations, un nouveau résultat de moyennisation dans l'espace des fonctions è variation bornée et son application à l'optique géométrique, et nous décrivons quelques résultats de petites perturbations de chocs pour une (ou deux) équations. Dans la dernière partie, nous étudions la convergence du processus de relaxation pour un modèle fluide de semi-conducteurs comme Marcati et Natalini mais pour le système d'Euler-Poisson isotherme de Poupaud, Rascle, Vila. Nous utilisons des propriétés du système de Nishida qui nous donnent un contrôle uniforme de variation totale indépendamment du coefficient d'amortissement. Nous en déduisons (après changement d'échelle) la convergence forte localement en temps de solutions entropiques quand le coefficient d'amortissement devient très grand, vers la solution de l'équation de dérive-diffusion

  • Titre traduit

    Nonlinear geometric optics, strong shocks, relaxation


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Informations

  • Détails : 193 p., 1 vol.
  • Annexes : Bibliographie 49 références

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