Metriques plates singulieres et feuilletages mesures sur les surfaces

Singular flat metrics and measured foliations on surfaces

• Auteur / Autrice : MOHAMMED MOSTEFA MESMOUDI
• Direction : Athanase Papadopoulos
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1994
• Etablissement(s) : Strasbourg 1

Résumé

Cette these est consacree a l'etude des structures plates singulieres definies sur les surfaces de riemann et a l'etude des notions de longueur extremales des feuilletages mesures. Elle se compose de six chapitres relativement independants les uns des autres. Dans le premier chapitre, nous etudions les proprietes des metriques plates singulieres et leurs geodesiques. Nous demontrons ensuite que toute correspondance geodesique conforme entre deux structures plates singulieres est une homothetie. Au deuxieme chapitre, nous donnons des conditions sous lesquelles les metriques plates singulieres et les metriques riemanniennes a courbures negatives sont determinees par leurs spectres marques de longueur. Nous construisons ensuite des surfaces euclidiennes a singularites coniques isospectrales et non isometriques. Dans le troisieme chapitre, nous introduisons les notions de longueur d'une classe d'equivalence de feuilletages mesures. Nous etudions les proprietes de cette notion. Nous donnons ensuite une nouvelle definition de longueur extremale de feuilletages mesures et nous demontrons qu'elle est equivalente a celle donnee par kerckhoff. Nous donnons de nouvelles demonstrations de quelques theoremes de kerckhoff et de strebel. Au quatrieme chapitre, nous donnons une condition necessaire et suffisante pour qu'une metrique plate singuliere definie sur le disque verifie la condition de comparaison d'aleksandrov. Nous etudions ensuite le comportement des rayons et des geodesiques sur un disque muni d'une metrique plate singuliere complete. Nous donnons ensuite des conduites sous lesquelles une telle metrique est hyperbolique au sens de gromov. Dans le cinquieme chapitre nous etudions l'existence d'une decomposition en triangles geodesiques ou d'une triangulation geodesique des surfaces euclidiennes a singularites coniques ayant pour ensemble de sommets l'ensemble des singularites de la metrique. Dans le sixieme chapitre, nous definissons la notion de densites quasi conformes et nous demontrons un theoreme de type fatou pour ces densites sur le bord hyperbolique d'un disque euclidien a singularites coniques