Thèse soutenue

Problèmes spectraux inverses pour les systèmes AKNS et applications
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Auteur / Autrice : Laurent Amour
Direction : Jean-Claude Guillot
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 1994
Etablissement(s) : Paris 13

Mots clés

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Résumé

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Dans cette thèse, l'opérateur considère est le système a. K. N. S. (Ablowitz, Kaup, Newell, Segur). En théorie spectrale inverse, on étudiera les systèmes akns sur l'intervalle unité, avec des potentiels a valeurs réelles et de carre intégrable. Dans la première partie, les systèmes akns sont associes aux conditions aux limites séparées, dépendant de deux paramètres. Ces conditions aux limites sont auto-adjointes. On construit un système de coordonnées bien adapte a l'étude des ensembles isospectraux. On donne les formules explicites de flots isospectraux. On caractérise l'ensemble des spectres des systèmes akns associes a des conditions aux limites séparées. Finalement, on donne des résultats concernant le positionnement et la nature de l'intersection des ensembles isospectraux. Dans la deuxième partie, on associe le système akns aux conditions aux limites périodiques généralisées, représentées par une matrice réelle avec un déterminant unité. Si cette matrice est une matrice de rotation, les problèmes spectraux inverses périodiques, les ensembles isospectraux sont compacts, génériquement des tores. Dans le cas contraire, les ensembles isospectraux et leurs sections a conditions aux limites fixées, sont des variétés analytiques réelles. Plus précisément, les ensembles isospectraux sont des variétés analytiques réelles et cylindriques. Dans la troisième partie, on prouve la presque périodicité en temps du flot périodique en espace, de l'équation schrodinger cubique non linéaire defocusing. D'après la formulation de Lax, ce flot reste sur un même ensemble isospectral, dans le cadre des systèmes akns associés aux conditions aux limites périodiques. La structure de tore de ces ensembles isospectraux est le point de départ de la preuve de la presque périodicité temporelle de nls