Sur la stabilité de l'homologie du groupe linéaire et de son algèbre de Lie
Auteur / Autrice : | Fatiha Akef |
Direction : | Jean-Louis Cathelineau |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance en 1991 |
Etablissement(s) : | Nice |
Jury : | Président / Présidente : Jean-Michel Lemaire |
Examinateurs / Examinatrices : Georges Elencwajg, François Rouvière, Marc Aubry | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Michel Lemaire, Daniel Guin |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Résumé
Étant donne un anneau A, l'inclusion du groupe linéaire gl#p(a) dans gl#p#+#1(a), induit, pour tout n0, un morphisme de groupes abéliens h#n(gl#p(a), z)h#n(gl#p#+#1(a)z). A. A. Suslin a montré que si F est un corps commutatif infini, ces homomorphismes sont des isomorphismes pour pn. De plus, il a prouvé que cette borne est la meilleure possible en montrant que la première obstruction à la stabilité, c'est-à-dire le groupe abélien h#n(gl#n#+#1(f),z)/imh#n(gl#n(f), z), est isomorphe au groupe abélien de k-théorie de Milnor de F qui, en général, n'est pas nul. A la suite de ces travaux, D. Guin a démontré que pour une large classe d'anneaux, les homomorphismes h#n(gl#p(a), z)h#n(gl#p#+#1(a), z) sont des isomorphismes pour pn, et il a lie la première obstruction à cette stabilité, h#n(gl#n#+#1(a), z)/imh#n(gl#n(a), z), à la k-théorie de Milnor de l'anneau A. L'objet de cette thèse est d'étudier le problème de la stabilité de l'homologie du groupe linéaire à coefficients dans l'action adjointe. Pour tout anneau A et tout a-bimodule b, les inclusions du groupe linéaire gl#p(a) dans gl#p#+#1(a) et de l'anneau des matrices m#p(b) dans m#p#+#1(b), induisent, pour tout n0, un morphisme de groupes abéliens h#n(gl#p(a), m#p(b))h#n(gl#p#+#1(a), m#p(b)). W. G. Dwyer a prouvé que les groupes d'homologie h#n(gl#p(a), m#p(a)), n1, se stabilisent pour P assez grand. Nous montrons dans ce travail que pour une large classe d'anneaux, ces morphismes sont des isomorphismes pour pn+1. Le groupe abélien h#n(gl#n#+#1(a), m#n#+#1(b))/imh#n(gl#n(a), mn(b)), est alors la première obstruction à cette stabilité. Nous montrons que ce groupe est isomorphe aux formes différentielles de kahler absolues de A à coefficients dans B, c'est-à-dire b #a#a#n. Nous étudions ensuite, la stabilité de l'homologie de l'algèbre de Lie des matrices gl#p(a) à coefficients dans l'action adjointe