Accélération du traitement numérique de l'équation de Helmholtz par équations intégrales et parallèlisation

Acceleration of the numerical treatment of the Helmholtz equation with integral equations and parallelization

• Auteur / Autrice : Armel de La Bourdonnaye
• Direction : Jean-Claude Nédélec
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 1991
• Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Ecole polytechnique. Département de mathématiques appliquées (Palaiseau, Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Helmholtz, Équation d'

Équations intégrales

Résumé

Cette thèse traite des méthodes d'accélération du calcul pour les équations intégrales provenant de l'équation de Helmholtz. Nous avons voulu tout d'abord étudier un préconditionnement possible. Une analyse mathématique en a été faite pour expliquer son fonctionnement. Des tests numériques ont été réalisés. L'amélioration obtenue sur le nombre d'itérations nécessaires pour converger est spectaculaire. Dans un second temps, nous avons présenté une méthode destinée à diminuer la complexité des codes d'équations intégrales. Nous utilisons pour cela une méthode de couplage. L'objet diffractant est mis dans une enveloppe à symétrie de révolution. Nous couplons alors des équations intégrales sur l'enveloppe avec des éléments finis entre elle et l'objet. La partie elements finis donne lieu à une matrice creuse. La partie équations intégrales est accélérée en utilisant la symétrie de révolution du maillage. En effet, avec une numérotation adéquate, la matrice d'équations intégrales est circulante par blocs. En utilisant des algorithmes de transformée de Fourier rapide, on peut la calculer et l'inverser de manière performante. La technique utilisée conduit d'ailleurs à réduire le stockage de manière sensible. La dernière tache a consiste à traiter le problème des pôles de l'enveloppe. En effet, dans un maillage en quartiers d'orange, les triangles au voisinage des poles sont dégénérés. Par une méthode de raffinement progressif, on obtient un maillage différent de l'enveloppe. Pour un tel maillage, on a montre qu'avec des algorithmes similaires, bien que plus complexes, le résultat était du même ordre, aussi bien pour le calcul de la maitrise que pour le produit matrice-vecteur et la factorisation de gauss. La parallélisations d'une partie de ces algorithmes a été réalisée sur l'IPSC2