Sur l'existence de feuilles compactes pour les feuilletages proches d'une fibration

On the existence of compact leaves for foliations close to a fibration

• Auteur / Autrice : Christian Bonatti
• Direction : Harold William Rosenberg
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1989
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

Une fibration, dont la base et la fibre sont des variétés compactes, définit sur l'espace total un feuilletage F dont les feuilles sont les fibres, donc sont toutes compactes. On dit que la fibre de la fibration est stable, s'il existe un voisinage du feuilletage F tel que tout feuilletage dans ce voisinage possède au moins une feuille compacte difféomorphe a la fibre et proche d'une fibre. Le problème traité par la thèse est de déterminer à quelles conditions sur la fibration la fibre sera stable. Seifert, puis Fuller avaient montré que la fibre d'une fibration en cercles orientée est stable si la caractéristique d'Euler de la base est non nulle. On complète ce résultat, en traitant le cas des fibrations en cercles non orientées, de façon à obtenir une condition nécessaire et suffisante à la c#0-stabilite (théorème a). Puis on généralise le théorème a (pour la C1-stabilite) a toutes les fibrations dont la fibre est de premier nombre de betti egal a 1 (théorème b). On s'intéresse alors aux fibrations dont la fibre est un tore: on montre la c#1-stabilite de la fibre pour les fibrations triviales dont la fibre est le tore Tn et dont la base est une surface s de caracteristique d'euler non nulle (théorème c). Pour cela, on démontre l'existence de points fixes communs pour tout n-uple de difféomorphismes de s commutant deux a deux, et C1-proches de l'identité (théorème c). Enfin, on prouve l'existence de fibrations de fibre le tore t#2 et de base une surface de caractéristique d'Euler non nulle, et dont la fibre est c#-instable. Outre ces résultats sur la stabilité de la fibre des fibrations, la thèse développe une théorie des déformations des feuilletages, qui montre que l'ensemble des déformations d'un feuilletage ne dépend que de son groupoïde des chemins tangents aux feuilles (théorème de réalisation des déformations d'holonomie)