Isométries de modules quadratiques

Isometries of quadratic modules

• Auteur / Autrice : Mustapha Boukhobza
• Direction : Maurice Flamant
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Mathématiques pures
• Date : Soutenance en 1987
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Maurice Flamant

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modules (algèbre)

Formes quadratiques

Isométrie (mathématiques)

Mots clés libres

Algebre

Algebra

Résumé

Soient a un anneau integre dans lequel 2 est inversible, s une partie multiplicative de a, r = s**(-1)a et (m,q), (m',q') deux a-modules quadratiques reguliers de rang n isometriques sur r. On se propose de donner des conditions suffisantes pour qu'ils soient isometriques sur a. Une reponse positive a ete donne (7) quand a est normal et n=1. Pour n1, la reponse est en general negative; neanmoins, sur un anneau principal a, deux a-modules quadratiques isotropes sont isometriques sur a si et seulement si ils le sont sur r (ii. 4. 3), de meme, avec certaines hypotheses supplementaires, on montre des resultats analogues (ii. 5. 5) et (ii. 5. 9). Dans les demonstrations, on utilise essentiellement la technique du diagramme cartesien qui est apparue, sous diverses formes, dans les travaux de plusieurs auteurs (16), (17) et (20). Le premier chapitre de ce travail est consacre a divers rappels relatifs aux anneaux topologiques et a la completion d'un anneau respectant la topologie definie par un ideal de l'anneau; on s'interesse surtout aux proprietes particulieres de la completion permettant d'appliquer la technique du diagramme cartesien a notre etude. Le chapitre ii est consacre a l'etude du groupe orthogonal du module quadratique (m,q) orthogonal m(a), que l'on note q orthogonal h, sur un anneau principal. On demontre un resultat crucial : o::(ap)(q orthogonal h) = o::(a)(q orthogonal h). O::(ap)(q orthogonal h). La derniere partie de ce chapitre est l'aboutissement des notions etudiees precedemment; on demontre plus precisement que l'on peut repondre d'une maniere positive a notre probleme dans les cas suivants : (ii. 4. 3), (ii. 4. 4), (ii. 5. 5) et (ii. 5. 9). Dans le dernier chapitre, on caracterise le groupe orthogonal d'un module quadratique diagonal de rang 2, a::(1),a::(2), sur un anneau principal et on prouve que l'on peut simplifier : a::(1),a::(2) orthogonal (m,q)->(m',q') orthogonal (m,q) si (-1) n'est pas un carre dans chaque corps re- a/::(p. A) ou p est un element premier de a; ce resultat est ameliore dans le cas des anneaux de fractions de z (iii. 2. 3), on donne un contre-exemple (iii. 2. 4) montrant que la simplication n'est pas possible si le module quadratique diagonal de rang 2 est de la forme : a::(1),a::(2) ou a::(1) non= a::(2) mod u(a**(2)); ainsi notre resultat est, dans un certain sens, le meilleur possible